生物工学演習D -第1回- ラプラス変換を理解する

・自動車のサスペンションシステム
質量・バネ・ダンパによる２次の常微分方程式

・人口モデル
人口増加の予測モデル．一般的にはロジスティック方程式でモデル化される

・電子回路の解析
回路の動作特性を調べることができる．RLC回路など

・化学反応速度（薬物動態モデルなど）
体内での薬物の反応速度などを予測する際にも微分方程式が用いられる．

・積分範囲が\(0から\infty\)なのは\(s\)の実部が正の時に\(-\infty\)で\(\exp(-st)\)が発散してしまうため．

・ラプラス変換ではフーリエ変換と異なり無限遠で0とならない関数\(f(x)\)を扱うことができる．これは\(\exp(-st) \)が無限遠で0になるように関数\(f(x)\)を抑えているためである．

・ラプラス変換が可能な関数
全ての\(t \ge 0 \)に対して\(|f(t)| \le Me^{kt}\)となる区分的に連続な関数\(f(t)\)

・ラプラス変換が特に有効な微分方程式は定係数線形微分方程式
係数が変化する微分方程式もラプラス変換で扱うことができることもある[3]．例：ラゲールの微分方程式

同じ答えを別の計算で得ることで理解を深めることができる．ということで部分分数分解して逆ラプラス変換した場合に同じ答えが得られるのかを確認する．

部分分数分解の方法は大きく2つある． 今回は１つ目の係数比較を紹介する． （実は今回の場合は部分分数分解する必要はないが練習のため行う） \begin{align} \frac{s – 2}{(s^2+k/m)} = \frac{a}{s+i\sqrt{k/m}} + \frac{b}{s-i\sqrt{k/m}} \end{align} 目的の関数が適当な係数\(a\)と\(b\)によって上記の式のように表せると仮定する． \begin{align} \frac{a}{s+i\sqrt{k/m}} + \frac{b}{s-i\sqrt{k/m}} &= \frac{a(s-i\sqrt{k/m})}{(s^2+k/m)} + \frac{b(s+i\sqrt{k/m})}{(s^2+k/m)}\\ &=\frac{a(s-i\sqrt{k/m})+b(s+i\sqrt{k/m})}{(s^2+k/m)}\\ &=\frac{(a+b)s-(a-b)i\sqrt{k/m}}{(s^2+k/m)}\\ \end{align} この式と最初の式の係数を比較すると \begin{align} a+b &= 1,\\ (a-b)i\sqrt{k/m} &= 2 \end{align} ここで微分方程式を解くという問題が上記の代数方程式を解くという問題になっていることを意識してほしい． つまり，ラプラス変換という手続きを経ることで高校生や頑張れば中学生でも解ける形になったわけである． このとき係数\(a\)は \begin{align} a+b + (a-b) &= 1 – 2i\sqrt{m/k},\\ 2a &= 1 – 2i\sqrt{m/k},\\ a &= 1/2 – i\sqrt{m/k}, \end{align} また係数\(b\)は \begin{align} b &= 1-a\\ &= 1 – (1/2 – i\sqrt{m/k})\\ &= 1/2 + i\sqrt{m/k} \end{align} つまり以下のように部分分数分解できる． \begin{align} \frac{s – 2}{(s^2+k/m)} = \frac{1/2 – i\sqrt{m/k}}{s+i\sqrt{k/m}} + \frac{1/2 + i\sqrt{m/k}}{s-i\sqrt{k/m}} \end{align} 以下の式を逆ラプラス変換する． \begin{align} X(s) &= \frac{1/2 – i\sqrt{m/k}}{s+i\sqrt{k/m}} + \frac{1/2 + i\sqrt{m/k}}{s-i\sqrt{k/m}} \end{align} 分子は定数なので逆ラプラス変換に影響のある分母の形に注目すると\(\frac{1}{s-a}\)という形になっている． これを逆ラプラス変換すると\(e^{at}\)になる． つまり， \begin{align} x(t) &= (1/2 – i\sqrt{m/k})e^{-i\sqrt{k/m}t}+ (1/2 + i\sqrt{m/k}) e^{+i\sqrt{k/m}t}\\ &= \frac{e^{-i\sqrt{k/m}t} + e^{+i\sqrt{k/m}t}}{2} – i\sqrt{m/k}(e^{-i\sqrt{k/m}t} – e^{+i\sqrt{k/m}t}) \end{align} オイラーの公式より\(e^{i\omega} = \cos \omega + i\sin \omega\)． それらの和や差は以下のように三角関数になる． \begin{align} e^{i\omega}+e^{-i\omega} = 2\cos \omega,\\ e^{i\omega}-e^{-i\omega} = 2i\sin \omega,\\ \end{align} そのため \begin{align} x(t) &= \frac{e^{-i\sqrt{k/m}t} + e^{+i\sqrt{k/m}t}}{2} – i\sqrt{m/k}(e^{-i\sqrt{k/m}t} – e^{+i\sqrt{k/m}t})\\ &= \cos \sqrt{k/m}t – i\sqrt{m/k}(-2i\sin \sqrt{k/m}t)\\ &= \cos \sqrt{k/m}t – 2\sqrt{m/k}(\sin \sqrt{k/m}t) \end{align} このように同じ解が得られた．

\begin{align} \mathcal{L}[f(t)] &= \int_0^\infty f(t) \exp(-st) dt\\ &= \int_0^\infty t \exp(-st) dt\\ &= \left[t(-\frac{1}{s} \exp(-st))\right]_0^\infty – \int_0^\infty -\frac{1}{s} \exp(-st) dt\\ &= 0 – \int_0^\infty -\frac{1}{s} \exp(-st) dt\\ &= \frac{1}{s} \int_0^\infty \exp(-st) dt\\ &= \frac{1}{s} \left[ -\frac{1}{s} \exp(-st) \right]_0^\infty\\ &= -\frac{1}{s^2} \left( 0 -1 \right)\\ &= \frac{1}{s^2} \end{align}

\begin{align} \mathcal{L}[f(t)] &= \int_0^\infty f(t) \exp(-st) dt\\ &= \int_0^\infty \exp(-at) \exp(-st) dt\\ &= \int_0^\infty \exp(-(s+a)t) dt\\ &= \left[(-\frac{1}{s+a} \exp(-(s+a)t))\right]_0^\infty\\ &= -\frac{1}{s+a} (0-1)\\ &= \frac{1}{s+a}\\ \end{align}

\begin{align} X(s) &= \frac{s-2+1/s^2}{s^2+1} \\ &= \frac{s-2}{s^2+1} + \frac{1}{s^2(s^2+1)} \end{align} ここで\(\frac{1}{s^2(s^2+1)} \)を部分分数分解してラプラス変換対応表にある形に変形する． 変形の方法はいくつかある．

1. 直感
2. 係数比較法
3. ヘビサイドのcover-up method

今回は係数比較法をつかう．
\begin{align}
\frac{1}{s^2(s^2+1)} = \frac{a}{s^2} + \frac{b}{s} + \frac{c}{s^2+1}
\end{align}
両辺に(s^2(s^2+1))をかけると
\begin{align}
1 &= a(s^2+1) + bs(s^2+1) + cs^2 \\
1 &= bs^3 + (a+c)s^2 + bs + a
\end{align}
つまり
\begin{align}
a &= 1 \\
b &= 0 \\
a + c &= 0
\end{align}
よって(a=1,b=0,c=-1)なので
\begin{align}
X(s) &= \frac{s-2}{s^2+1} + \frac{1}{s^2} – \frac{1}{s^2+1} \\
X(s) &= \frac{s}{s^2+1} – 3\frac{1}{s^2+1} + \frac{1}{s^2}
\end{align}
これを逆ラプラス変換すると
\begin{align}
x(t) &= \cos(t) – 3\sin(t) + t
\end{align}
となる