生物工学演習E -第13回- 確率過程のパワースペクトル

2024-01-102024-01-11

今回の目的

・有限のエネルギーを持つ信号はエネルギースペクトル密度関数を，確率過程のように無限大のエネルギーを持つ関数はパワースペクトル密度関数を計算する．

・確率過程のパワースペクトル密度関数は自己相関関数のフーリエ変換により計算できる．

エネルギースペクトル密度関数

連続な時系列\(x(t)\)をフーリエ変換することで周波数領域に変換し，その時系列を構成する各周波数の位相\(\angle X(\omega)\)と振幅\(|X(\omega)|\)を調べることができるのだった．

とくに\(S(\omega)=|X(\omega)|^2\)をエネルギースペクトル密度(ESD)とよぶ．

時系列のエネルギーは以下のように定義され，エネルギースペクトル密度はそのエネルギーが周波数ごとにどのように分配されているかを表している．

\begin{align}
E &= \int _{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2 dt
\end{align}

エネルギースペクトル密度は定義から

\begin{align}
S(\omega) &= |X(\omega)|^2\\
&= X^*(\omega)X(\omega)\\
&= \int _{-\infty}^{\infty} x(t’)e^{j\omega t’} dt’\int _{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t’)e^{j\omega t’} x(t)e^{-j\omega t} dt’dt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t’)x(t)e^{-j\omega (t-t’)} dt’dt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t-u)x(t)e^{-j\omega u} dudt\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} \left( \int_{-\infty}^{\infty} x(t-u)x(t) dt\right) du\
\end{align}

標本自己相関関数として\(\hat{R}_{xx} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)x(t) dt\)とすると

\begin{align}
S(\omega)
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} \hat{R}_{xx} (u) du\
\end{align}

例題1 \(e^{-\alpha \left|t\right|}\)のエネルギースペクトル密度

\begin{align}
x(t) = e^{-\alpha \left|t\right|},\quad \alpha > 0
\end{align}

のエネルギースペクトル密度を考える(図は\(\alpha=2\)の場合)．

この信号は\(t\)が十分に大きくなると0に近づいていき，有限のエネルギーを持つ．

実際に

\begin{align}
E &= \int _{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2 dt\\
&= \int _{-\infty}^{\infty} (e^{-\alpha \left|t\right|}) ^2 dt \\
&= \int _{-\infty}^{0} (e^{2\alpha t}) dt + \int _{0}^{\infty} (e^{-2\alpha t}) dt \\
&= \left[\frac{1}{2\alpha} e^{2\alpha t}\right]_{-\infty}^{0} + \left[\frac{-1}{2\alpha} e^{-2\alpha t} \right]_{0}^{\infty} \\
&= \frac{1}{2\alpha} + \frac{1}{2\alpha} \\
&= \frac{1}{\alpha}
\end{align}

このエネルギーの内，それぞれの周波数成分がもつエネルギーの密度はフーリエ変換の二乗として得られて

\begin{align}
X(\omega) &= \int _{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha \left|t\right|}e^{-j\omega t} dt\\
&= \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}
\end{align}

より

\begin{align}
S(\omega) &= |X(\omega)|^2 \\
&= X^*(\omega)X(\omega)\\
&= \left( \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2} \right)^2
\end{align}

例えば\(\alpha=2\)の場合，以下の図のようなエネルギースペクトル密度関数が得られる．

また得られたエネルギースペクトル密度関数を積分すると(途中計算は略)

\begin{align}
\int _{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2} \right)^2 d\omega = 2\pi\frac{1}{\alpha}
\end{align}

となり，

\begin{align}
\int _{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty} S(\omega) d\omega
\end{align}

また\(\omega = 2\pi f\)より\(d\omega = 2\pi df\)であるので

\begin{align}
\int _{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2 dt = \int _{-\infty}^{\infty} S(2\pi f) df
\end{align}

この関係はパーセバルの定理と呼ばれる．

パワースペクトル密度関数

ESDは有限のエネルギーを持つ信号に対しては計算できるが，定常な確率過程など時間を\(t \to \infty\)に飛ばした際に\(x(t)\)が0に収束しない信号に対しては計算できない．

そこで，信号の全エネルギーを計算する代わりに時間平均エネルギーに占める各周波数の割合を表すのがパワースペクトル密度(PSD)である．

\begin{align}
P(\omega) &= E[\lim_{T \to \infty}\frac{|X_T(\omega)|^2}{T}]
\end{align}

ここで元の信号\(x(t)\)を区間\([-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]\)の外で0にした\(x_T(t)\)をフーリエ変換したものが \(X_T(\omega)\)である．

有限区間の信号\(x_T(t)\)を対象とすることでそのエネルギーも有限となり，フーリエ変換を計算できる．

そして信号長\(T\)で割ることで単位時間当たりのエネルギ―(パワー)となり，\(T \to \infty\)に飛ばした際に有限の値に収まるようにしている．

まずは期待値の中だけ考えると

\begin{align}
\lim_{T \to \infty}\frac{|X_T(\omega)|^2}{T}
&= \lim_{T \to \infty}\frac{X^*_T(\omega)X_T(\omega)}{T}\\
&= \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}(\int _{-\infty}^{\infty} x_T(t’)e^{j\omega t’} dt’)(\int _{-\infty}^{\infty} x_T(t)e^{-j\omega t} dt)\\
&= \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_T(t’)e^{j\omega t’} x_T(t)e^{-j\omega t} dt’dt)\\
&= \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_T(t’)x_T(t)e^{-j\omega (t-t’)} dt’dt)
\end{align}

ここで\(u = t-t’\)とおくと

\begin{align}
\lim_{T \to \infty}\frac{|X_T(\omega)|^2}{T}
&= \lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x_T(t-u)x_T(t)e^{-j\omega u} dudt)\\
&= \lim_{T \to \infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} \left(\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} x_T(t-u)x_T(t) dt \right) du)\\
&= \lim_{T \to \infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} R_{T}(u) du)\\
\end{align}

ここで\(R_{T}(u) = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} x_T(t-u)x_T(t) dt\)

よって

\begin{align}
P(\omega) &= E[\lim_{T \to \infty}\frac{|X_T(\omega)|^2}{T}]\\
&= E[\lim_{T \to \infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} R_{T}(u) du)]\\
&= \lim_{T \to \infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} E[R_{T}(u)] du)
\end{align}

\begin{align}
E[R_{T}(u)] &= E[\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} x_T(t-u)x_T(t) dt]\\
&= \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} E[x_T(t-u)x_T(t)] dt \\
&= \frac{1}{T}\int_{-(T-|u|)}^{T} E[x(t-u)x(t)] dt \\
&= \frac{E[x(t-u)x(t)]}{T}\int_{-(\frac{T}{2}-|u|)}^{\frac{T}{2}} dt \\
&= R_{xx}(-u)\frac{T-|u|}{T} \\
&= R_{xx}(u)\left(1- \frac{|u|}{T}\right)
\end{align}

途中の変形で\(R_{xx}(\tau)=R_{xx}(-\tau)\)を使用した．

上記より

\begin{align}
P(\omega)
&= \lim_{T \to \infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} E[R_{T}(u)] du)\\
&= \lim_{T \to \infty}(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} R_{xx}(u)\left(1- \frac{|u|}{T}\right) du)\\
&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega u} R_{xx}(u)du
\end{align}

この関係はウィーナー・ヒンチンの定理(Wiener–Khinchin theorem)と呼ばれる．