生物工学演習E -第8回- ラプラス変換

2023-11-292023-11-30

今回の概要

ラプラス変換を理解する．

システムの極と安定性について理解する．

ラプラス変換

\(f(t)\)を\(t\geq0\)に対して定義された\(t\)の関数とする．
このとき\(f(t)\)のラプラス変換を\(\mathcal{L}[f(t)](s)\)で表し以下のように書ける．

\begin{align}
\mathcal{L}[f(t)] = F(s) = \int_0^\infty f(t) \exp(-st) dt
\end{align}

\(s\)は一般に複素数で\(s=\sigma + j \omega\)．

以下のラプラス変換表を用いることで計算を省略することもできる．

\(f(t)\)	\(F(s)\)
\(1\)	\(\frac{1}{s}\)
\(t\)	\(\frac{1}{s^2}\)
\(t^n\)	\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)
\(e^{at}\)	\(\frac{1}{s-a}\)
\(\delta(t)\)	\(1\)
\(\sin(\omega t)\)	\(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(\cos(\omega t)\)	\(\frac{s}{s^2+\omega^2}\)

基本的なラプラス変換対応表

\(f(t)\)	\(F(s)\)
\(\frac{d}{dt}f(t)\)	\(sF(s)-f(0)\)
\(\frac{d^2}{dt^2}f(t)\)	\(s^2F(s)-sf(0)-\frac{d}{dt}f(t)\|_{t=0}\)
\(\int_0^t f(t) dt\)	\(\frac{1}{s} F(s)\)
\(e^{at}f(t)\)	\(F(s-a)\)
\(f(t-a)ただしt=a以前はf(t)=0\)	\(e^{-as}F(s)\)

微分積分とラプラス変換の対応

伝達関数

ラプラス変換後の出力\(Y(s)\)を入力\(X(s)\)で割った関数を伝達関数\(G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\)と呼ぶ．

以下RLC回路における伝達関数導出の例

この回路の入力を\(e_i(t)\)，出力を\(e_o(t)\)とするとキルヒホッフの第二法則(一周した際の電圧降下の総和が0)から

\begin{align}
e_i(t) &= Ri(t) + L\frac{d}{dt}i(t) + \frac{1}{C}\int_0^t i(t’) dt’\\
e_o(t) &= \frac{1}{C}\int_0^t i(t’) dt’
\end{align}

ラプラス変換すると

\begin{align}
E_i(s) &= RI(s) + LsI(s) + \frac{1}{Cs}I(s)\\
E_o(s) &= \frac{1}{Cs}I(s)
\end{align}

伝達関数\(G(s)=\frac{E_o(s)}{E_i(s)}\)は

\begin{align}
G(s) &= \frac{1}{Cs}I(s) \times \frac{1}{(R + Ls + \frac{1}{Cs})I(s)}\\
G(s) &= \frac{1}{Cs(R + Ls + \frac{1}{Cs})}\\
G(s) &= \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}
\end{align}