生物工学演習D -第11回- 行列の階数，行列式，逆行列
今回の目標
□行列の階数，行列式，逆行列の計算を思い出す．
概要
システムを状態空間表現しそのシステムの性質を調べる際，行列の階数，行列式，逆行列の計算は必須である．
そのため，今回は線形代数の復習を行う．
行列の階数（rank）
行列\(A\)の列ベクトルの一次独立なベクトルの最大個数を\(A\)の階数またはランクといい，\(\text{rank}(A)\)と表す．
ベクトル\(\boldsymbol{x}_i\)\((i=1,2,\dots,n)\)が一次独立の定義
\begin{align}
k_1\boldsymbol{x}_1+k_2\boldsymbol{x}_2+\dots+k_n\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{0}
\end{align}
を満たす\(k_i\)の組が\(k_1=k_2=\dots=k_n=0\)のみのときベクトル\(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_n\)は一次独立であるという．
行列式(determinant)の計算
順列
整数1,2,3の並べ方（順列）は\(3!=6\)通りある．
123,132,213,231,312,321
このとき与えられた順列において，大きい数が小さい数より左側にあることを転倒と呼ぶ．そして転倒の回数が奇数の順列を奇順列，偶数の順列を偶順列とよぶ．
上記の例では132(1回),213(1回),321(3回)が奇順列，123(0回),231(2回),312(2回)が偶順列
()の中の数字は転倒回数．
また行列式を簡単に表現するために順列\(\rho = j_1j_2\dots j_n\)の転倒回数に応じて符号の変化する関数を以下のように定義する．
\begin{align}
\epsilon_{j_1j_2\dots j_n} =
\left \lbrace
\begin{array}{ll}
+1 & \rho が偶順列 \\
-1 & \rho が奇順列
\end{array}
\right.
\end{align}
正方行列の行列式
行列\(A\)の行列式は上記の\(\epsilon_{j_1j_2\dots j_n}\)を使って
\begin{align}
|A| = \sum_\rho \epsilon_{j_1j_2\dots j_n}a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}
\end{align}
で定義される．\(\sum_\rho\)はすべての順列の組み合わせ\((n!)\)分の和を表す．
逆行列の計算
余因子行列と逆行列
正則な（逆行列をもつ）行列\(A\)の余因子行列を\(\tilde{A}\)とすると逆行列は\(A^{-1} = \frac{1}{|A|}\tilde{A}\)
つまり逆行列を計算するためには行列\(A\)の行列式と余因子行列が計算できれば良い．
余因子行列\(\tilde{A}\)は余因子\(\alpha_{ij}\)を使って以下のように表される．
\begin{align}
\tilde{A} =
\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{11} & \alpha_{21} & \cdots & \alpha_{n1}\\
\alpha_{12} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{n2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\alpha_{1n} & \alpha_{2n} & \cdots & \alpha_{nn}
\end{array}\right)
\end{align}
ここで余因子\(\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}|\)で，\(M_{ij}\)は行列Aから\(i\)行目と\(j\)列目を取り除いた行列で小行列とよばれる．
参考文献
[0] Ogata, Katsuhiko. Modern Control Engineering. 5th ed. Prentice-Hall Electrical Engineering Series. Instrumentation and Controls Series. Boston: Prentice-Hall, 2010. p649-
[1] エアーズ 著，今井正隆 訳．マグロウヒル大学演習シリーズ 行列．1989．マグロウヒル出版株式会社．